Resumo do guia:
1) Gere o backup pelo cPanel
2) Faça download do arquivo do backup gerado
3) Transfira manualmente por FTP para o novo servidor (para qualquer conta FTP dentro do servidor).
4) Acesse o novo servidor por SSH
5) Copie o arquivo para a pasta /root
Para copiar digite:
# cd /home/usuario (aonde usuario é o mesmo login do FTP utilizado)
# cp nome_do_arquivo /root
6) Acesse o painel WHM do novo servidor
7) Clique em Restaurar um Full backup/cpmove
8) Digite somente o nome do login do usuario, e clique Restaurar
Pronto! Aguarde alguns minutos e o site estará restaurado / transferido para o novo servidor.